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  • （2011?普陀区三模）（理）已知函数f(x)=ln(2-x2)|x+2|-2．（1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；（2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；（3）右图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列{an}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （2011?普陀区三模）（理）已知函数f(x)=
      ln(2-x2)
      |x+2|-2
      ．
      （1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；
      （2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；
      （3）右图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列{a      n}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由
      {
      2-x2＞0
      |x+2|-2≠0

      得 x∈(-
      √2
      ，0)∪(0，
      √2
      )，
      则 f(x)=
      ln(2-x2)
      x
      ，任取 x∈(-
      √2
      ，0)∪(0，
      √2
      )，
      都有f（-x）=-
      ln(2-x2)
      x
      =-f（x），则该函数为奇函数．
      （2）任取0＜x      1＜x2＜1，
      则有0＜x      12＜x22＜1?2-x12＞2-x22＞1，?ln（2-x12）＞ln（2-x22）＞0．
      又
      1
      x1
      ＞
      1
      x2
      ＞1，
      所以
      ln(2-x
      2
      1
      )
      x1
      ＞
      ln(2-x
      2
      2
      )
      x2
      ，
      即f（x      1）＞f（x2），
      故函数f（x）在区间（0，1）上单调递减．
      （3）由程序框图知，公差不为零的等差数列{a      n}要满足条件，
      则必有f（a      1）+f（a2）+…+f（a10）=0．
      由（1）知函数f（x）是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，
      所以要构造满足条件的等差数列{a      n}，可利用等差数列的性质，只需等差数列{an}
      满足：a      1+a10=a2+a9═a5+a6=0
      且       an∈(-
      √2
      ，0)∪(0，
      √2
      )即可．
      我们可以先确定a      5，a6使得a5+a6=0，因为公差不为零的等差数列{an}必是单调的数列，只要它的最大项和最小项在 (-
      √2
      ，0)∪(0，
      √2
      )中，即可满足要求．
      所以只要a      5，a6
      对应的点尽可能的接近原点．如取a      5=-0.1，a6=0.1，存在满足条件的一个等差数列{an}可以是an=0.2n-1.1（1≤n≤10，n∈N*）．
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