设定义域为R的函数f（x）=2x+1a+4x为偶函数，其中a为实常数．（1）求a的值，指出并证明该函数的其它基本性质；（2）请你选定一个区间D，求该函数在区间D上的反函数f-1（x）．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设定义域为R的函数f（x）=

2^x+1

a+4^x

为偶函数，其中a为实常数．
（1）求a的值，指出并证明该函数的其它基本性质；
（2）请你选定一个区间D，求该函数在区间D上的反函数f^-1（x）．

试题解答

见解析

解：（1）因为f（x）=

2^x+1

a+4^x

为R上的偶函数，
所以对于任意的x∈R，都有

2^-x+1

a+4^-x

2^x+1

a+4^x

，
也就是2^-x+1?（a+4^x）=2^x+1?（a+4^-x），
即（a-1）（1-4^x）=0对x∈R恒成立，
所以，a=1．
所以f(x)=

2^x+1

1+4^x

．
由f(x₁)-f(x₂)=

2^x₁+1

1+4^x₁

2^x₂+1

1+4^x₂

2(2^x₂-2^x₁)(2^x₁+x₂-1)

(1+4^x₁)(1+4^x₂)

设x₁＜x₂＜0，则(1+4^x₁)(1+4^x₂)＞0，2^x₂-2^x₁＞0，2^x₁+x₂-1＜0，
所以，对任意的x₁，x₂∈（-∞，0），有

2(2^x₂-2^x₁)(2^x₁+x₂-1)

(1+4^x₁)(1+4^x₂)

＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）．
故，f（x）在（-∞，0）上是单调递增函数．
又对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），在x₁＜x₂时，(1+4^x₁)(1+4^x₂)＞0，
2^x₂-2^x₁＞0，2^x₁+x₂-1＞0．
所以

2(2^x₂-2^x₁)(2^x₁+x₂-1)

(1+4^x₁)(1+4^x₂)

＞0．
则f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数．
对于任意的x???R，f(x)=

2^x+1

1+4^x

2^x+2^-x

≤1，
故当x=0时，f（x）取得最大值1．
因为2^x+1＞0，所以方程f(x)=

2^x+1

1+4^x

=0无解，故函数f（x）=

2^x+1

1+4^x

无零点．
（2）选定D=（0，+∞），
由y=

2^x+1

1+4^x

，得：y（2^x）²-2×2^x+y=0
所以2^x=

√1-y²

，x=log₂

√1-y²

（0＜y≤1）
所以f^-1(x)=log₂

√1-x²

，x∈（0，1]．

标签

必修1 人教A版单选题高中数学

设定义域为R的函数f（x）=2x+1a+4x为偶函数，其中a为实常数．（1）求a的值，指出并证明该函数的其它基本性质；（2）请你选定一个区间D，求该函数在区间D上的反函数f-1（x）．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题