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  • （2012?海淀区二模）某同学为研究函数f(x)=√1+x2+√1+(1-x)2(0≤x≤1)0＜x＜1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数的极值点是 ，函数的值域是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （2012?海淀区二模）某同学为研究函数f(x)=
      √1+x2
      +
      √1+(1-x)2
      (0≤x≤1)0＜x＜1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数的极值点是          ，函数的值域是          ．

      试题解答

      1
      2
      :[
      √5
      ，
      √2
      +1]
      解：Rt△PCF中，PF=
      √CP2
      +CF2=
      √1+x2

      同理可得，Rt△PAB中，PA=
      √1+(1-x)2

      ∴PA+PF=
      √1+x2
      +
      √1+(1-x)2
      ．
      从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，
      在运动到BC的中点之前，PA+PF的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，
      ∵当点P在BC的中点上时，即A、B、P三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，
      PA+PF取得最小值
      √AE2+EF2
      =
      √5
      ，
      当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值
      √2
      +1．
      ∴
      √5
      ≤PA+PF≤
      √2
      +1，可得函数的极值点是
      1
      2
      ；
      函数f（x）=AP+PF的值域为[
      √5
      ，
      √2
      +1]．
      故答案为：
      1
      2
      ；[
      √5
      ，
      √2
      +1]．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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