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  • 已知f（x）=lnx，g（x）=√x-1√x．（Ⅰ）当x≥1时，求f（x）-g（x）的最大值；（Ⅱ）求证：√x＜x-1lnx＜x+12，?x＞1恒成立；（Ⅲ）求证：n22+3n8＜nΣk=11ln2k+12k-1＜n22+n2（n≥2，n∈N）．（参考数据：ln3≈1.1，ln5≈1.6）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）=lnx，g（x）=
      √x
      -
      1
      √x
      ．
      （Ⅰ）当x≥1时，求f（x）-g（x）的最大值；
      （Ⅱ）求证：
      √x
      ＜
      x-1
      lnx
      ＜
      x+1
      2
      ，?x＞1恒成立；
      （Ⅲ）求证：
      n2
      2
      +
      3n
      8
      ＜nΣk=1
      1
      ln
      2k+1
      2k-1
      ＜
      n2
      2
      +
      n
      2
      （n≥2，n∈N）．（参考数据：ln3≈1.1，ln5≈1.6）

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）设F（x）=f（x）-g（x）=lnx-（
      √x
      -
      1
      √x
      ），x≥1，
      则F′（x）=
      1
      x
      -
      1
      2
      √x
      =-
      (
      √x
      -1)2
      2x
      √x
      ≤0，
      ∴F（x）在区间[1，+∞）内单调递减，故F（x）的最大值为F（1）=0．
      （Ⅱ）由（Ⅰ）得，对?x≥1，都有f（x）＜g（x），即lnx＜
      √x
      -
      1
      √x
      =
      x-1
      √x
      ．
      ∵x-1＞0，lnx＞0，∴
      √x
      ＜
      x-1
      √x
      ．
      设G（x）=（x+1）lnx-2（x-1），x＞1，则G′（x）=lnx+
      x+1
      x
      -2=
      xlnx-x+1
      x
      ．
      设H（x）=xlnx-x+1，则H′（x）=lnx＞0，
      ∴H（x）在区间（1，+∞）内单调递增，∴H（x）＞H（1）=0，即G（x）＞0．
      ∴G（x）在区间（1，+∞）内单调递增，∴G（x）＞G（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x-1）．
      因为x-1＞0，lnx＞0，所以
      x-1
      lnx
      ＜
      x+1
      2
      ，从而原命题得证．
      （Ⅲ）由（Ⅱ）得，当x＞1时，
      √x
      x-1
      ＜
      1
      lnx
      ＜
      x+1
      2(x-1)
      恒成立．
      令
      2k+1
      2k-1
      =x，k∈N*，得
      √(2k+1)(2k-1)
      2
      ＜
      1
      ln(
      2k+1
      2k-1
      )
      ＜k．
      ∴      nΣk=1
      1
      ln
      2k+1
      2k-1
      ＜ nΣk=1k=
      n2
      2
      +
      n
      2
      ；
      另一方面，当k≥2时，
      1
      ln(
      2k+1
      2k-1
      )
      ＞
      √(2k+1)(2k-1)
      2
      ＞
      √4k2-k+
      1
      16
      2
      =k-
      1
      8
      ，
      ∴      nΣk=1
      1
      ln
      2k+1
      2k-1
      ＞
      1
      ln3
      +nΣk=2(k-
      1
      8
      )＞
      7
      8
      +
      (n-1)(n+2)
      2
      -
      n-1
      8
      =
      n2
      2
      +
      3n
      8
      ，
      从而命题得证．
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