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  • 定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R，都有f（x1+x22）≤f(x1)+f(x2)2，则称函数f（x）是R上的凹函数．已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R，a＞0）．（1）求证：函数f（x）是凹函数．（2）求f（x）在[-1，1]上的最小值g（a），并求出g（a）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R，都有f（
      x1+x2
      2
      ）≤
      f(x1)+f(x2)
      2
      ，则称函数f（x）是R上的凹函数．已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R，a＞0）．
      （1）求证：函数f（x）是凹函数．
      （2）求f（x）在[-1，1]上的最小值g（a），并求出g（a）的值域．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：∵f（
      x1+x2
      2
      ）=a（
      x1+x2
      2
      ）2+
      x1+x2
      2
      ，
      1
      2
      [f（x1）+f（x2）]=
      1
      2
      （ax12+x1+ax22+x2），
      ∴f(
      x1+x2
      2
      )-
      1
      2
      (f(x1)+f(x2))=a(
      x1+x2
      2
      )2+
      x1+x2
      2
      -
      1
      2
      (ax
      2
      1
      +x1+ax
      2
      2
      +x2)
      =-a(
      x1+x2
      2
      )2，
      ∵a＞0，∴-a(
      x1+x2
      2
      )2≤0，
      即f（
      x1+x2
      2
      ）≤
      1
      2
      [f（x1）+f（x2））
      ∴函数f（x）是凹函数．
      （2）对于函数y=ax      2+x，其对称轴是x=-
      1
      2a
      ＜0
      ①当-
      1
      2a
      ≤-1，即0＜a≤
      1
      2
      ，此时f（x）min=f（-1）=a-1
      ②当-1＜-
      1
      2a
      ＜0，即a＞
      1
      2
      ，此时f(x)min=f(-
      1
      2a
      )=-
      1
      4a

      综上：g(a)=
      {
      a-1，0＜a≤
      1
      2
      -
      1
      4a
      ，a＞
      1
      2
      ，
      由分段函数的图象可知，
      g（a）的值域为（-1，0）．
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