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  • 已知函数f（x）=mx+n1+x2是定义在[-12，12]上的奇函数，且f（-14）=817．（1）确定函数f（x）的解析式；（2）用定???证明函数f（x）在[-12，12]上是减函数；（3）若实数t满足f（3t）+f（12-t）＜0，求t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      mx+n
      1+x2
      是定义在[-
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]上的奇函数，且f（-
      1
      4
      ）=
      8
      17
      ．
      （1）确定函数f（x）的解析式；
      （2）用定???证明函数f（x）在[-
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]上是减函数；
      （3）若实数t满足f（3t）+f（
      1
      2
      -t）＜0，求t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）∴
      m(-x)+n
      1+x2
      =-
      mx+n
      1+x2
      ，
      ∴m（-x）+n=-（mx+n），∴n=0，∴f(x)=
      mx
      1+x2
      ．
      又∵f（-
      1
      4
      ）=
      8
      17
      ，∴
      m?(-
      1
      4
      )
      1+(-
      1
      4
      )2
      =
      8
      17
      ，∴m=-2，∴f(x)=-
      2x
      1+x2
      ．
      （2）设-
      1
      2
      ≤x1＜x2≤
      1
      2
      ，则f（x1）-f（x2）=-
      2x1
      1+x12
      -(-
      2x2
      1+x22
      )=
      -2x1(1+x22)+2x2(1+x12)
      (1+x12)(1+x22)
      =
      -2x1-2x1x22+2x2+2x2x12
      (1+x12)(1+x22)

      =
      2(x2-x1)+2x1x2(x1-x2)
      (1+x12)(1+x22)
      =
      2(x2-x1)(1-x1x2)
      (1+x12)(1+x22)
      ，
      ∵-
      1
      2
      ≤x1＜x2≤
      1
      2
      ，∴x2-x1＞0，1-x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，
      ∴f（x      1）＞f（x2）∴f（x）在[-
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]上是减函数．
      （3）f(3t)+f(
      1
      2
      -t)＜0可化为 f(3t)＜-f(
      1
      2
      -t)，
      ∵f（x）是奇函数，∴-f(
      1
      2
      -t)=f(t-
      1
      2
      )，∴f(3t)＜f(t-
      1
      2
      )．
      由（2）得f（x）是定义在[-
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]上的减函数．
      ∴
      {
      -
      1
      2
      ≤3t≤
      1
      2
      -
      1
      2
      ≤t-
      1
      2
      ≤
      1
      2
      3t＞t-
      1
      2
      ，∴
      {
      -
      1
      6
      ≤t≤
      1
      6
      0≤t≤1
      t＞-
      1
      4
      ，∴0≤t≤
      1
      6
      ．
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