设关于x的方程x2-mx-1=0有两个实根α、β，且α＜β．定义函数f（x）=2x-mx2+1．（Ⅰ）求αf（α）+βf（β）的值；（Ⅱ）判断f（x）在区间（α，β）上的单调性，并加以证明；（Ⅲ）对?x1，x2∈（α，β），证明不等式：|f（x1）-f（x2）|＜|α-β|．试题及答案-单选题-云返教育

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设关于x的方程x²-mx-1=0有两个实根α、β，且α＜β．定义函数f（x）=

2x-m

x²+1

．
（Ⅰ）求αf（α）+βf（β）的值；
（Ⅱ）判断f（x）在区间（α，β）上的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）对?x₁，x₂∈（α，β），证明不等式：|f（x₁）-f（x₂）|＜|α-β|．

试题解答

见解析

（Ⅰ）解：∵α，β是方程x²-mx-1=0的两个实根，∴

{	α+β=m α?β=-1

，
∴f(α)=

2α-m

α²+1

2α-(α+β)

α²-αβ

α-β

α(α-β)

，同理f(β)=

，
∴αf（α）+βf（β）=2．
（Ⅱ）∵f(x)=

2x-m

x²+1

，
∴f′(x)=

2(x²+1)-(2x-m)?2x

(x²+1)²

2(x²-mx-1)

(x²+1)²

，
当x∈（α，β）时，x²-mx-1=（x-α）（x-β）＜0，
而f'（x）＞0，∴f（x）在（α，β）上为增函数．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知f（α）＜f（x₁）＜f（β）；f（α）＜f（x₂）＜f（β），
∴f（α）-f（β）＜f（x₁）-f（x₂）＜f（β）-f（α），
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜|f（α）-f（β）|．
再由（Ⅰ）知f(α)=

，f(β)=

，αβ=-1，
∴|f(α)-f(β)|=|

|=|

β-α

αβ

|=|α-β|，
所以|f（x₁）-f（x₂）|＜|α-β|．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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