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  • 已知函数f（x）=loga（√2x2+1-mx）在R上为奇函数，a＞1，m＞0．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）指出函数f（x）的单调性．（不需要证明）（Ⅲ）设对任意x∈R，都有f（√2cosx+2t+5）+f（√2sinx-t2）≤0；是否存在a的值???使g（t）=a 4t-2t+1最小值为-23．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=loga（
      √2x2+1
      -mx）在R上为奇函数，a＞1，m＞0．
      （Ⅰ）求实数m的值；
      （Ⅱ）指出函数f（x）的单调性．（不需要证明）
      （Ⅲ）设对任意x∈R，都有f（
      √2
      cosx+2t+5）+f（
      √2
      sinx-t2）≤0；是否存在a的值???使g（t）=a 4t-2t+1最小值为-
      2
      3
      ．

      试题解答

      见解析
      解：（I）f（-x）=-f（x）可得，loga（
      √2x2+1
      +mx）=-loga（
      √2x2+1
      -mx）=loga（
      1
      √2x2+1
      -mx
      ），
      ∴（
      √2x2+1
      +mx）=（
      1
      √2x2+1
      -mx
      ），即 2x2+1-m2x2=1，∴m2=2，m=
      √2
      ．
      （II）由（I）知 f（x）=log      a（
      √2x2+1
      -
      √2
      x）=loga（
      1
      √2x2+1
      +
      √2
      x
      ），
      故函数f（x）在R上是减函数．
      （III）又对任意x∈R，都有f（
      √2
      cosx+2t+5）+f（
      √2
      sinx-t2）≤0，
      ∴f（
      √2
      cosx+2t+5）≤-f（
      √2
      sinx-t2）=f（t2-
      √2
      sinx），
      ∴
      √2
      cosx+2t+5≥t2-
      √2
      sinx，即 t2-2t-5≤
      √2
      sinx+
      √2
      cosx．
      由于
      √2
      sinx+
      √2
      cosx=2sin（x+
      π
      4
      ）≥-2，故 t2-2t-5≤-2，解得-1≤t≤3．
      令n=2      t，则n∈[
      1
      2
      ，8]，令h（n）=g（t）=a 4t-2t+1 =an2-2n，二次函数h（n）的对称轴方程为n=
      1
      a
      ．
      ∵a＞1，∴0＜
      1
      a
      ＜1．
      当0＜
      1
      a
      ＜
      1
      2
      时，h（n）在[
      1
      2
      ，8]上是增函数，h（n）的最小值为h（
      1
      2
      ）=
      a
      4
      -1=-
      2
      3
      ，求得a=
      4
      3
      （舍去）．
      当
      1
      2
      ≤
      1
      a
      ＜1时，h（n）的最小值为h（
      1
      a
      ）=-
      1
      a
      =-
      2
      3
      ，求得a=
      3
      2
      ，满足条件．
      综上可得，a=
      3
      2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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