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  • 已知函数f(x)=x+ax+b，其中a，b为实数．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（1）=4，且f（-1）=-2，求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间，并用定义加以证明；（3）在（2）的条件下，求函数f（x）在[12，3]上的最大值和最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=x+
      a
      x
      +b，其中a，b为实数．
      （1）判断函数f（x）的奇偶性；
      （2）若f（1）=4，且f（-1）=-2，求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间，并用定义加以证明；
      （3）在（2）的条件下，求函数f（x）在[
      1
      2
      ，3]上的最大值和最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）的定义域为{x|x≠0}．
      f（-x）+f（x）=（-x-
      a
      x
      +b）+（x+
      a
      x
      +b）=2b，
      只有当b=0时f（x）为奇函数；
      （2）由f（1）=4，f（-1）=-2，可得
      {
      1+a+b=4
      -1-a+b=-2
      ，解得a=2，b=1．
      则f（x）=x+
      2
      x
      +1，f′（x）=1-
      2
      x2
      ，令f′（x）＞0解得x＞
      √2
      ，令f′（x）＜0解得0＜x＜
      √2
      ，
      所以f（x）的增区间是（
      √2
      ，+∞），减区间是（0，
      √2
      ）；
      设
      √2
      ＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=（x1+
      2
      x1
      +1）-（x2+
      2
      x2
      +1）=(x1-x2)
      (x1x2-2)
      x1x2
      ，
      因为
      √2
      ＜x1＜x2，所以x1-x2＜0，x1x2-2＞0，x1x2＞0，
      故f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
      所以f（x）是（
      √2
      ，+∞）上的增函数；
      设0＜x      1＜x2＜
      √2
      ，则f（x1）-f（x2）=（x1+
      2
      x1
      +1）-（x2+
      2
      x2
      +1）=(x1-x2)
      (x1x2-2)
      x1x2
      ，
      因为0＜x      1＜x2＜
      √2
      ，所以x1-x2＜0，x1x2-20，
      故f（x      1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
      所以f（x）是（0，
      √2
      ）上的增函数．
      （3）由（2）知：f（x）在[
      1
      2
      ，
      √2
      ]上递减，在[
      √2
      ，3]上递增，
      所以f（x）的最小值为f（
      √2
      ）=2
      √2
      +1，
      又f（
      1
      2
      ）=
      11
      2
      ，f（3）=
      14
      3
      ，
      所以f（x）的最大值为f（
      1
      2
      ）=
      11
      2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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