已知函数f（x）=2x-12x+1．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）证明：在f（x）上R为增函数；（3）证明：方程f（x）-lnx=0在区间（1，3）内至少有一根．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

2^x-1

2^x+1

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：在f（x）上R为增函数；
（3）证明：方程f（x）-lnx=0在区间（1，3）内至少有一根．

见解析

（1）解：f（x）为奇函数．证明如下：
函数定义域为R，关于原点???称，
又f（-x）=

2^-x-1

2^-x+1

1-2^x

1+2^x

2^x-1

2^x+1

=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）=1-

2^x+1

，
任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（1-

2^x₁+1

）-（1-

2^x₂+1

）=

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

，
因为x₁＜x₂，所以2^x₁-2^x₂＜0，2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在R上为增函数；
（3）证明：令g（x）=f（x）-lnx=1-

2^x+1

-lnx，
因为g（1）=

＞0，g（3）=1-

2³+1

-ln3=

-ln3＜0，
又g（x）在（1，3）上图象连续不断，
所以函数g（x）在（1，3）上至少有一个零点，
即方程f（x）-lnx=0在区间（1，3）内至少有一根．

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