定义在R上的单调增函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（k?3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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定义在R上的单调增函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（k?3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

试题解答

见解析

（1）证明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．
令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得 f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，则有0=f（x）+f（-x）．
即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．--------------（4分）
（2）解：f（x）在R上是单调增函数，又由（1）知f（x）是奇函数．
∵f（k?3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），
∴k?3^x＜-3^x+9^x+2，
∴3^2x-（1+k）?3^x+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3^x＞0，问题等价于t²-（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．--------------------（6分）
令g（t）=t²-（1+k）t+2，其对称轴为x=

1+k

当

1+k

＜0，即k＜-1时，f（0）＞2，符合题意；
当

1+k

≥0，即k≥-1时，则△=（1+k）²-4×2＜0，∴-1≤k＜-1+2

√2

综上，k＜-1+2

√2

--------------------------（12分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

定义在R上的单调增函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（k?3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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