已知g（x），h（x???分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g（x）+h（x）=ex．（1）求g（x），h（x）的解析式；（2）解不等式h（x2+2x）+h（x-4）＞0；（3）若对任意x∈[ln2，ln3]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知g（x），h（x???分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g（x）+h（x）=e^x．
（1）求g（x），h（x）的解析式；
（2）解不等式h（x²+2x）+h（x-4）＞0；
（3）若对任意x∈[ln2，ln3]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

见解析

解：（1）由

{	g(-x)+h(-x)=e^-x g(x)+h(x)=e^x

，得

{	g(x)-h(x)=e^-x g(x)+h(x)=e^x

，
解得g（x）=

e^x+e^-x

，h（x）=

e^x-e^-x

．
（2）因为h（x）在R上时单调递增的奇函数，
所以h（x²+2x）+h（x-4）＞0?h（x²+2x）＞h（4-x），
所以x²+3x-4＞0，解得x＞1或x＜-4，
所以不等式的解集为：{x|x＞1或x＜-4}．
（3）g（2x）-ah（x）≥0，即得

e^2x+e^-2x

-a?

e^x-e^-x

≥0，参数分离得
a≤

e^2x+e^-2x

e^x-e^-x

(e^x-e^-x)²+2

e^x-e^-x

=e^x-e^-x+

e^x-e^-x

，
令t=e^x-e^-x，则e^x-e^-x+

e^x-e^-x

=t+

=F（t），
于是F（t）=t+

，t∈[

，

]，
因为F（t）_min=F（

）=

，
所以a≤

．

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