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  • 已知函数f（x）=mx+n1+x2是定义在[-12，12]上是奇函数，且f（-14）=817（1）确定函数f（x）解析式（2）用定义证明函数f（x）在[12，12]上是减函数（3）若实数t满足f（t3）+f（t+1）＜0，求t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      mx+n
      1+x2
      是定义在[-
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]上是奇函数，且f（-
      1
      4
      ）=
      8
      17

      （1）确定函数f（x）解析式
      （2）用定义证明函数f（x）在[
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]上是减函数
      （3）若实数t满足f（
      t
      3
      ）+f（t+1）＜0，求t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f（x）=
      mx+n
      1+x2
      为奇函数，
      ∴对于定义域内的任意实数x，都有f（-x）=-f（x）
      即
      -mx+n
      1+x2
      =-
      mx+n
      1+x2
      ，可得-mx+n=-mx-n，得n=0
      ∴f（x）=
      mx
      1+x2

      ∵f（-
      1
      4
      ）=
      8
      17
      ，∴
      -
      1
      4
      m
      1+
      1
      16
      =
      8
      17
      ，解之得m=-1
      因此，函数f（x）解析式为f（x）=
      -x
      1+x2

      （2）由（1）知，f（x）=
      -x
      1+x2
      ，
      设x      1、x2∈[-
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]，且x1＜x2，可得
      f（x      1）-f（x2）=
      -x1
      1+x12
      -
      -x2
      1+x22
      =
      (x1-x2)(x1x2-1)
      (1+x12)(1+x22)

      ∵x      1-x2＜0，x1x2-1＜0，（1+ x12）（1+ x22）＞0
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0，得f（x1）＞f（x2）
      由此可得函数f（x）在[
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]上是减函数；
      （3）∵f（x）在[
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]上是奇函数且是减函数
      ∴实数t满足f（
      t
      3
      ）+f（t+1）＜0，即f（
      t
      3
      ）＜-f（t+1）=f（-t-1）
      可得-
      1
      2
      ＜-t-1＜
      t
      3
      ＜
      1
      2
      ，解之???-
      3
      4
      ＜t＜-
      1
      2

      即得实数t的范围为（-
      4
      3
      ，-
      1
      2
      ）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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