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  • 已知函数f(x)=x1+x2的定义域为（-1，1）．求：（I）判断并证明f（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）解关于t的不等式f(t-12)+f(t)＜0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      x
      1+x2
      的定义域为（-1，1）．求：
      （I）判断并证明f（x）在定义域内的单调性；
      （Ⅱ）解关于t的不等式f(t-
      1
      2
      )+f(t)＜0．

      试题解答

      见解析
      解：（I）f（x）在定义域内为增函数，证明如下：
      设x      1，x2∈（-1，1）且x1＜x2，
      则f（x      2）-f（x1）=
      x2
      1+x
      2
      2
      -
      x1
      1+x
      2
      1
      =
      x2+x2x
      2
      1
      -x1-x1x
      2
      2
      (1+x
      2
      1
      )(1+x
      2
      2
      )
      =
      (x2-x1)(1-x2x1)
      (1+x
      2
      1
      )(1+x
      2
      2
      )
      ，
      ∵-1＜x      1≤x2＜1，∴x2-x1＞0，1-x2x1＞0，
      ∴有f（x      2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
      ∴f（x）在定义域内为增函数；
      （II）∵f（x）定义域为[-1，1]且关于原点对称，
      又f（-x）=-
      x
      1+x2
      =-f（x），
      ∴f（x）在定义域内为奇函数，
      由f(t-
      1
      2
      )+f(t)＜0，得f(t-
      1
      2
      )＜-f(t)=f(-t)，
      又f（x）在（-1，1）上单调递增，∴-1＜t-
      1
      2
      ＜-t＜1，
      解得t∈(-
      1
      2
      ，
      1
      4
      )．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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