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  • 已知函数f（x）=x2-2x，g（x）是R上的奇函数，且当x∈（-∞，0]，g（x）+f（x）=x2．（1）求函数g（x）在R上的解析式；（2）若函数h（x）=x[g（x）-λf（x）+23]在〔0，+∞）上是增函数，且λ≤0，求λ的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x2-2x，g（x）是R上的奇函数，且当x∈（-∞，0]，g（x）+f（x）=x2．
      （1）求函数g（x）在R上的解析式；
      （2）若函数h（x）=x[g（x）-λf（x）+
      2
      3
      ]在〔0，+∞）上是增函数，且λ≤0，求λ的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵当x∈（-∞，0]，g（x）+f（x）=x2，f（x）=x2-2x，
      ∴当x∈（-∞，0]，g（x）=2x （2分）
      设x≥0，则-x≤0
      ∴g（-x）=-2x
      ∵g（x）是R上的奇函数
      ∴g（x）=-g（-x）=2x，x∈[0，+∞）
      ∴g（x）=2x （5分）
      （2）∵h（x）=x[g（x）-λf（x）+
      2
      3
      ]
      ∴      h′(x)=-3λx2+4(1+λ)x+
      2
      3
      （6分）
      ①λ=0时，      h′(x)=4x+
      2
      3
      ≥
      2
      3
      ，所以函数h（x）在[0，+∞）上是增函数，满足题意 （7分）
      ②当λ＜0时，      h′(x)=-3λx2+4(1+λ)x+
      2
      3
      的对称轴x=
      2λ+2
      3λ
      ，在y轴上的截距为
      2
      3

      所以（i）若
      λ+1
      λ
      ≥0即-1＜λ＜0时，函数h（x）在〔0，+∞）上是增函数，（9分）
      （ii）若
      λ+1
      λ
      ≥0即λ≤-1时，
      -8λ-16(λ+1)2
      -12λ
      =
      2(2λ2+5λ+2)
      3λ
      ≥0
      即2λ      2+5λ+2≤0
      ∴-2≤λ≤-1，
      综上可得，-2≤λ≤0时，结论成立 （12分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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