已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）．（Ⅰ）当x＜0时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）当m∈R时，试比较f（m-1）与f（3-m）的大小；（Ⅲ）求最小的整数m（m≥-2），使得存在实数t，对任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤2ln|x+3|．试题及答案-单选题-云返教育

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已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）．
（Ⅰ）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当m∈R时，试比较f（m-1）与f（3-m）的大小；
（Ⅲ）求最小的整数m（m≥-2），使得存在实数t，对任意的x∈[m，10]，都有f（x+t）≤2ln|x+3|．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）当x＜0时，-x＞0，
∵f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=ln（x+2）
∴f（x）=f（-x）=ln（-x+2）…（3分）
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）=ln（x+2）单调递增，而f（x）是偶函数，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以f（m-1）＞f（3-m）
所以|m-1|＞|3-m|
所以（m-1）²＞（3-m）²所以m＞2…（6分）
所以当m＞2时，f（m-1）＞f（3-m）；当m=2时，f（m-1）=f（3-m）；当m＜2时，f（m-1）＜f（3-m）…（8分）
（Ⅲ）当x∈R时，f（x）=ln（|x|+2），则由f（x+t）≤2ln|x+3|，得ln（|x+t|+2）≤ln（x+3）²，
即|x+t|+2≤（x+3）²对x∈[m，10]恒成立…（12分）
从而有

{	t≤x²+5x+7 t≥-x²-7x-7

对x∈[m，10]恒成立，因为m≥-2，
所以

{	t≤(x²+5x+7)_min=m²+5m+7 t≥(-x²-7x-7)_max=-m²-7m-7

…（14分）
因为存在这样的t，所以-m²-7m-7≤m²+5m+7，即m²+6m+7≥0…（15分）
又m≥-2，所以适合题意的最小整数m=-1…（16分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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