• 在平面直角坐标系xoy中,已知点A(-1,1),P是动点,且△POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA(1)求点P的轨迹C的方程(2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点,且PQ=λOA,直线OP与QA交于点M.问:是否存在点P,使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA=2S△PAM?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.试题及答案-解答题-云返教育

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      在平面直角坐标系xoy中,已知点A(-1,1),P是动点,且△POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA
      (1)求点P的轨迹C的方程
      (2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点,且
      PQ
      OA
      ,直线OP与QA交于点M.
      问:是否存在点P,使得△PQA和△PAM的面积满足S
      △PQA=2S△PAM?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

      试题解答


      见解析
      解:(1)设点P(x,y).∵kOP+kOA=kPA,∴
      y
      x
      +(-1)=
      y-1
      x+1
      ,化为y=x2(x≠0,-1).即为点P的轨迹方程.
      (2)假设存在点P(x
      1x
      2
      1
      ),Q(x2x
      2
      2
      ).使得△PQA和△PAM的面积满足
      S
      △PQA=2S△PAM
      ①如图所示,点M为线段AQ的中点.
      PQ
      OA
      ,∴PQ∥OA,得kPQ=kAO=-1.
      {
      x
      2
      2
      -x
      2
      1
      x2-x1
      =-1
      -1+x2
      2
      =
      x1
      2
      ,解得
      {
      x1=-1
      x2=0

      此时P(-1,1),Q(0,0)分别与A,O重合,因此不符合题意.
      故假设不成立,此时不存在满足条件的点P.
      ②如图所示,
      当点M在QA的延长线时,由S△PQA=2S△PAM
      可得
      QA
      =2
      AM

      PQ
      OA
      ,∴
      PO
      =2
      OM
      ,PQ∥OA.
      由PQ∥OA,可得k
      PQ=kAO=-1.
      设M(m,n).
      QA
      =2
      AM
      PO
      =2
      OM

      可得:-1-x
      2=2(m+1),-x1=2m,
      化为x
      1-x2=3.
      联立
      {
      x1-x2=3
      x
      2
      2
      -x
      2
      1
      x2-x1
      =-1
      ,解得
      {
      x1=1
      x2=-2

      此时,P(1,1)满足条件.
      综上可知:P(1,1)满足条件.
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