已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且c=1，又F(x)={f(x)(x＞0)-f(x)(x＜0)，求F（2）+F（-2）的值；（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，求实数b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，且c=1，又F(x)=

{	f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

，求F（2）+F（-2）的值；
（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，求实数b的取值范围．

见解析

解：（Ⅰ）据题意，

{

a＞0

=-1

a-b+1=0

，得

{

a=1

b=2

，
∴f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
于是F(x)=

{	(x+1)²(x＞0) -(x+1)²(x＜0)

，
∴F（2）+F（-2）=（2+1）²-（-2+1）²=8．
（Ⅱ）a=1，c=0时，f（x）=x²+bx，|x²+bx|≤1在区间（0，1]上恒成立，
等价于-1≤x²+bx≤1对0＜x≤1恒成立，
即

{	x²+bx≥-1对0＜x≤1恒成立 x²+bx≤1对0＜x≤1恒成立

，
即

{

b≥-

x²+1

对0＜x≤1恒成立

b≤

-x²+1

对0＜x≤1恒成立

，
在0＜x≤1时，-

x²+1

=-(x+

)在x=1时取最大值-2，
而

-x²+1

-x在x=1时取最小值0，
故b≥-2且b≤0，
于是-2≤b≤0．

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