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  • f（x）定义域为（0，+∞），且对任意x＞0，y＞0都有f(xy)=f(x)-f(y)．当x＞1时，有f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）若f（6）=1，解不等式 f(x+3)-f(1x)＜2．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      f（x）定义域为（0，+∞），且对任意x＞0，y＞0都有f(
      x
      y
      )=f(x)-f(y)．当x＞1时，有f（x）＞0．
      （1）求f（1）的值；
      （2）若f（6）=1，解不等式 f(x+3)-f(
      1
      x
      )＜2．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令x=y=1，得f（
      1
      1
      ）=f（1）-f（1）=0，即f（1）=0；
      （2）设0＜x      1＜x2，则
      x2
      x1
      ＞1，f（
      x2
      x1
      ）＞0，
      f（x      2）-f（x1）=f（
      x2
      x1
      ）＞0，
      ∴f（x      2）＞f（x1），
      ∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
      ∵f（6）=1，
      ∴f（6）=f（
      36
      6
      ）=f（36）-f（6）=1，
      ∴f（36）=2，
      ∴原不等式化为f（x      2+3x）＜f（36），f（x）在（0，+∞）上为增函数，
      ∴
      {
      x+3＞0
      1
      x
      ＞0
      x2+3x＜36
      ，解得0＜x＜
      3
      √17
      -3
      2
      ．
      ∴不等式f（x+3）-f（
      1
      x
      ）＜2的解集为{x|0＜x＜
      3
      √17
      -3
      2
      }．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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