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  • 设函数f（x）对任意实数x1、x2都满足f（x1）+f（x2）=2f（x1+x22）（x1-x22），且f（π2）=0，f（x）不恒等于0，求证：（1）f（0）=1；（2）f（x+π）=-f（x）；（3）f（x+2π）=f（x）（4）f（x）=f（-x）； （5）f（2x）=2f2（x）-1试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）对任意实数x1、x2都满足f（x1）+f（x2）=2f（
      x1+x2
      2
      ）（
      x1-x2
      2
      ），且f（
      π
      2
      ）=0，f（x）不恒等于0，求证：
      （1）f（0）=1；（2）f（x+π）=-f（x）；（3）f（x+2π）=f（x）
      （4）f（x）=f（-x）； （5）f（2x）=2f      2（x）-1

      试题解答

      见解析
      证明：由题设f（x）对任意实数x1、x2都满足f（x1）+f（x2）=2f（
      x1+x2
      2
      ）（
      x1-x2
      2
      ），且f（
      π
      2
      ）=0，f（x）不恒等于0，
      （1）令x      1=x2=0，得f（0）+f（0）=2f（0）×f（0），即2f（0）×[f（0）-1]=0，故f（0）=0或f（0）=1，
      若f（0）=0，则f（x）+f（x）=2f（x）f（0）=0，故对任意的x有f（x）═0恒成立，这与f（x）不恒等于0矛盾，
      故f（0）=1；
      （2）f（x+π）+f（x）=2f（x+
      π
      2
      ）f（
      π
      2
      ）=0，∴f（x+π）=-f（x）；
      （3）由（2）的结论知f（x+2π）-f（x）=f（x+2π）+f（x+π）=2f（x+
      3π
      2
      ）×f（
      π
      2
      ）=0，∴f（x+2π）=f（x）
      （4）∵f（x）-f（-x）=f（x）+f（-x+π）=2f（x-
      π
      2
      ）f（
      π
      2
      ）=0，∴f（x）=f（-x）；
      （5）∵f（2x）+1=f（2x）+f（0）=2f      2（x），∴f（2x）=2f2（x）-1
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